Бесконфликтная сборка додекаэдра или икосаэдра из модулей трех цветов

Январь 14th, 2011 by Папа Женя
0

Типичный модульный оригами-додекаэдр состоит из 30-ти модулей. Часто хочется собрать его из модулей трех цветов таким образом, чтобы ни один модуль не имел соседа того же цвета. Если собирать наудачу, так хорошо выбрать порядок модулей не всегда удается. Хорошо было бы иметь четкий алгоритм действий, который застрахует от необходимости складывать заново. В случае клеевых кусудам цена ошибки может оказаться и еще выше.

Все вышесказанное относится и к икосаэдру, поскольку этот многогранник двойственный к додекаэдру (а для кусудам отнесение некоторых шариков к икосаэдру или додекаэдру зачастую вообще условно). Например, вот этот модульный икосаэдр можно собрать по тому же принципу, изложенному ниже.

оригами: Модульный икосаэдр

Раньше я уже искал решение этой проблемы и результатом была вот такая схема:

Схема для сборки оригами-икосаэдра  из тридцати модулей трех цветов

То есть, нужно сначала собрать первую пятерку модулей без стоящих подряд двух одинаковых цветов. Затем добавить к ним еще пять единственным возможным способом (чтобы тройки соседних модулей состояли из трех разных цветов). А потом один единственный модуль (выпирающий красный на картинке выше) однозначно определяет положение всех модулей. Достаточно добавлять модули там, где другой цвет стоять не может.

Минус этого подхода в том, что мне никак не удается запомнить, куда именно нужно поставить решающий модуль и какого он должен быть цвета. Специально заучивать не хочется.

И вот сегодня уважаемая aneta подсказала способ решения проблемы, причем такой, который запоминается с первого раза. Я взял на себя смелость и набросал разбор её идеи по действиям и с картинками. Думаю, он окажется полезен многим.

* * *

Во-первых, буду показывать раскраску на вот такой схеме, которая представляет развернутый на плоскость двенадцатигранник (додекаэдр). Ребра двенадцатигранника тут обозначают модули будущей кусудамы соответствующих цветов.

Раскраска оригами-додекаэдра или икосаэдра: каркас

Идея Анеты состоит в том, чтобы начать складывать не с кольца из пяти модулей (как делал я), а с вершины, построенной из трех ребер (модулей) различных цветов, и еще шести модулей, порядок и цвета которых определяются по первым трем.

Чтобы лучше понять, можно использовать понятия Cis- и Trans-ребер. Cis-ребрами будем называть такие ребра, для которых соседние ребра одного цвета отходят как бы в одну сторону, в то время как у Trans-ребер соседние ребра одного цвета отходят как бы накрест.

Пример Cis-ребра, которые нас и интересуют, изображен ниже: зеленое ребро на рисунке. Тут синие ребра участвуют в построении одной грани двенадцатигранника, а красные — в построении другой, соседней грани.

Раскраска оригами-додекаэдра или икосаэдра: cis-ребро

Так вот, чтобы обеспечить нам идеальную сборку, достаточно собрать одну вершину из трех модулей (выделена на рисунке ниже) и добавить к ней еще шесть модулей (по два модуля каждого цвета) таким образом, чтобы каждое ребро вокруг вершины оказалось Cis-ребром.

Раскраска оригами-додекаэдра или икосаэдра: cis-вершина и прилегающие cis-ребра

Такого начала достаточно, чтобы у вас дальше обязательно получилось сложить додекаэдр (или икосаэдр) без конфликта цветов соседних модулей. Ниже я демонстрирую, почему это действительно так.

Во-первых, следующие девять модулей определяются однозначно.

Раскраска оригами-додекаэдра или икосаэдра: cis-вершина и необходимая раскраска

Дальше однозначности нет: у каждого из оставшихся ребер есть минимум два цвета, которые мы можем им назначить. Выберем для перебора вариантов, например, правое нижнее ребро с двумя зелеными соседями. Для него можно выбрать либо красный, либо синий цвет.

Вариант 1: добавим красный модуль Вариант 2: добавим синий модуль
Раскраска оригами-додекаэдра или икосаэдра: вариант 1 Раскраска оригами-додекаэдра или икосаэдра: вариант 2
Все остальные ребра определяются однозначно. В любом случае многогранник с чередующимися цветами модулей получается успешно.
Раскраска оригами-додекаэдра или икосаэдра: вариант 1 - полная раскраска Раскраска оригами-додекаэдра или икосаэдра: вариант 2 - полная раскраскаl

Можно заметить, что получившиеся два варианта — это те же варианты, что получались у меня раньше. Кроме того, все, не определенные однозначно первичным заданием «cis-вершины», ребра в обоих вариантах имеют различные цвета. То есть, какое бы ребро мы не выбрали для перебора вариантов и какой бы цвет ему не присвоили, мы все равно получили бы только одну из этих двух раскрасок.

Всего, как заметила Анета, в раскрашенном додекаэдре четыре такие Cis-вершины. Их расположение в первом варианте раскраски показано на рисунке ниже.

Раскраска оригами-додекаэдра или икосаэдра: cis-вершины

* * *

Если кто-то хочет собрать такой икосаэдр, который представлен на картинке в начале поста, пользуйтесь вот этим видео-туториалом:

Posted in Оригами и Кусудамы, Хобби

Leave a Reply